第 3 讲

置信水平：95%到底意味着什么？

随机抽取 40 名男生测身高，用样本平均身高估计全校男生的真实平均身高 μ。在正态总体、独立随机抽样的教学模型下，对比 z 区间与 t 区间。

何晓琦《统计学》系列

模拟设置

动手试一试

全校男生真实平均身高 μ（cm）

总体标准差 σ（cm）

每次抽取人数 n

置信水平

区间类型

显示真值线与覆盖结果

模拟从均值 μ、标准差 σ 的正态分布独立抽样，并非从实际学校名册抽样。σ 用于生成模拟数据；在「σ 未知」的两种模式里，区间的计算并不使用它，只用样本标准差 s。修改参数会重新开始。空格键 = 抽样 1 次。

圆点是这次的样本平均身高 x̄，横线是区间。最新一次在最上面，图中最多保留最近 100 次。

x̄ 落在 μ ± 1.96·SE 以内，等价于这一次的区间盖住 μ。曲线是理论上的抽样分布（以 μ 为中心的钟形曲线），中间阴影区占 95%。

95%置信水平意味着什么？

如果按当前方法独立随机抽样100次，每次都构造一个95%置信区间，那么从长期平均来看，约有95个区间包含固定的总体真值（真实的总体平均身高 μ = 172 cm）。

请点击「抽样 100 次」，观察两张图的变化，再查看实际覆盖比例。 100次只是一次模拟，实际覆盖个数会有随机波动，并非必定恰好95次。

区间宽度：每个区间都是 3.72 cm

当前估计方法的置信区间公式

\bar{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

总体标准差 σ 已知：采用标准正态临界值 z = 1.96。置信水平 95%；抽样平均误差（标准误） = σ/√n；抽样极限误差 Δ = 临界值 × 抽样平均误差。在本教学模型中，每次区间宽度相同。

抽样后，这里将显示最近一次的代入计算

抽样之前

本正态抽样模型下，这套方法覆盖固定真值 μ 的概率为 95%。

抽样之后

μ 固定，端点也已经确定。区间要么覆盖、要么未覆盖；经典置信水平不是给这个固定区间赋予概率。

重复很多次

累计覆盖比例长期趋近 95%，有限次抽样会波动，不要求每 100 次恰有 95 次覆盖。