第 6 讲
自由度：为什么统计学中总要减去1？
从固定总和到样本方差，再到 t 分布、χ²分布、方差分析与回归
总和固定时，有几个数可以自由变化？
要求下面五个数的总和始终等于 100。请修改前四个数，观察第五个数会怎样变化。
- 数据个数
- 5
- 独立约束数
- 1
- 自由度
- 4
关键观察
前四个数可以分别指定；第五个数不能随意选择，否则总和就不再是100。5个数 − 1个独立约束 = 4个自由度。这只是理解自由度的一个直观入口。
课堂思考
- 如果改成10个数，总和仍固定，自由度是多少？如果总和不受限制，自由度又是多少？
为什么计算样本方差时是 n−1？
调整5个样本观测值，观察样本均值、离差及离差之和。样本均值由这5个数计算而来。
- 样本均值 x̄
- 11.00
- 离差之和
- 0.00000000
- 残差自由度
- 4
- 观测值
- 样本均值 11.00
- 离差（带符号）
本组样本的离差为：−4.00、−2.00、0.00、1.00、5.00。它们的总和恒为0，所以知道前4个离差后，第5个就被确定。这里的n−1来自使用样本均值造成的一个线性约束。样本方差用n−1作分母，才能在独立同分布抽样下无偏估计总体方差。
课堂思考
- 为什么样本方差使用 n−1 作分母，而不是 n？如果总体均值 μ 事先已知、直接计算对 μ 的离差，又有什么不同？
分布设置
动手试一试
分布类型
t 分布（实线）与标准正态分布（虚线）对照，观察尾部变化。
自由度如何改变 t 分布和 χ²分布？
- 自由度 ν
- 4
- 双侧95%临界值 |t|
- 2.7764
- 分布特点
- 尾部明显较厚
- t(4) 分布
- 标准正态分布
- 中央 95%
- 双侧 95% 临界值
实线：t(4)分布；虚线：标准正态分布。t分布始终左右对称，但自由度较小时尾部更厚，95%临界值更大。自由度增大时，t分布逐渐趋近标准正态分布。
为什么这里也是 n−1？
在正态总体独立随机抽样下，样本方差对应的χ²统计量有 n−1 个自由度；当总体标准差未知时，均值的t统计量使用同一份样本方差估计，因此t分布也有 n−1 个自由度。
模型设置
动手试一试
选择场景
自由度不只是 n−1：方差分析与回归
- 组间自由度
- 2
- 组内自由度
- 21
- 总自由度
- 23
单因素方差分析中，组间比较的自由度为 k−1；每组估计一个组均值，组内残差自由度合计为 n−k。总离差自由度为 n−1。
把四个场景连起来
自由度反映的是：在模型施加的独立约束或估计参数占用的信息维度之后，还剩多少独立变化的方向。对于常见满秩线性模型，残差自由度等于观测数减去独立估计参数数。并不是所有统计问题都机械地“减去1”。