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第 7 讲

总体比例的区间估计

如何估计某高校大学生使用生成式AI工具的比例？

何晓琦《统计学》系列

调查案例与估计条件

动手试一试

置信水平

初始数据为教学示例，并非真实调查。模拟抽样时假设虚拟总体的AI使用比例为60%，重复抽样按独立抽取模拟；不重复抽样先生成有限总体，再无放回抽取。

区间估计结果正态近似

样本比例 p̂
64.00%
临界值 z
1.960
抽样极限误差 Δ
6.65%

总体比例的 95% 置信区间[57.35%, 70.65%]

0%20%40%60%80%100%使用AI工具的学生比例样本比例57.35%70.65%
  • 总体比例置信区间
  • 样本比例
总体比例置信区间与样本比例（横轴单位为百分比）

本次样本：200人，其中128人使用AI工具；样本比例为64.00%。

调整样本量、样本比例和置信水平，观察区间变化。

临界值与标准正态分布

−4−2024z−1.9601.96095%α/2α/2
  • 中央置信水平
  • 两侧尾部区域
  • 临界点
标准正态分布 N(0,1)：中央面积 95%，两侧尾部各 2.5%

中央面积 95%，两侧尾部各 2.5%；临界点 ±1.9600。该图展示标准正态临界值，不是样本比例本身的分布曲线。

公式与计算步骤

p^±z1−α/2p^(1−p^)n\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
  1. 第一步：计算样本比例
    p^=128200=0.6400\hat{p}=\frac{128}{200}=0.6400
  2. 第二步：确定置信水平与临界值 95%，α = 0.05
    z1−α/2=1.9600z_{1-\alpha/2}=1.9600
  3. 第三步：计算抽样平均误差
    σp^=0.6400×0.3600200=0.03394\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{0.6400\times 0.3600}{200}}=0.03394
  4. 第四步：计算抽样极限误差
    Δ=1.9600×0.03394=0.06652\Delta=1.9600\times 0.03394=0.06652
  5. 第五步：构造置信区间
    p^±Δ=0.6400±0.06652\hat{p}\pm\Delta=0.6400\pm 0.06652
  6. [57.35%, 70.65%]

重复抽样按独立随机抽取；不重复抽样按有限总体简单随机无放回抽取。便利抽样或自愿参与调查可能存在选择偏差。

课堂思考

  1. 重复抽样与不重复抽样的抽样平均误差有什么不同？
  2. 为什么样本比例接近50%时，在相同样本量下估计往往更不精确？
  3. 当样本比例接近0或1时，正态近似区间可能出现什么问题？

置信水平反映的是区间构造方法在重复抽样中的长期覆盖率，不是某个已经算出的区间包含总体比例的概率。

调查案例与估计条件

n = 200 · x = 128 · 95% · 正态近似