第 5 讲总体均值的区间估计
如何估计某高校大学生每月平均生活费？
何晓琦《统计学》系列
估计条件
动手试一试
“重新抽样”在重复抽样时独立生成数据；不重复抽样时先生成有限总体，再无放回抽取。初始数值是教学案例数据，并非实际调查结果。
估计结果z 区间
- 样本量 n
- 36
- 临界值
- 1.960
- 抽样极限误差 Δ
- 117.60 元
总体均值 μ 的 95% 置信区间[2,082.40，2,317.60] 元
总体均值 μ 的置信区间与样本均值 x̄（单位：元）调整样本量或置信水平，观察区间宽度变化。
临界值与抽样分布
标准正态分布；中央阴影面积 95%，两侧各 2.5%；临界点 ±1.9600。切换置信水平或样本量时曲线与临界点动态更新。
公式与计算步骤
xˉ±z1−α/2×nσ 确定置信水平与显著性水平
1−α=95%,α=0.05 确定临界值
z1−α/2=1.9600 计算标准误
nσ=36360.00=60.00 计算抽样极限误差
Δ=1.9600×60.00=117.60 计算区间上下限
xˉ±Δ=2,200.00±117.60 [2,082.40，2,317.60] 元
“总体标准差已知”是教学设定；精确 z 区间还需要正态总体，或在适当条件下依赖大样本近似。
课堂思考
- 样本量增加，区间为什么通常会变窄？
- 不重复抽样时，抽样比 n/N 增大，区间为何变窄？
- 总体标准差未知时，为什么需要关注总体分布和样本量？
注意：95%置信水平描述的是长期重复抽样时，按相同方法构造的区间覆盖固定总体均值的比例，而不是某个已算出区间内参数的概率。