第 10 讲

如何确定样本量？

同一个案例：调查全校男生的平均身高。我们需要抽取多少人，才能达到预期的估计精度？

何晓琦《统计学》系列

抽样条件

动手试一试

每次抽取人数 n

假设男生身高总体标准差 σ = 6 cm，先采用独立随机抽样模型。

课堂提问：抽取25人和100人，抽样平均误差会缩小到多少？

\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

抽样平均误差（标准误）1.20 cm

横轴：样本量 n；纵轴：抽样平均误差（cm）。蓝色曲线随样本量增加而下降，但下降速度逐渐减慢。

当前抽取 25 人，抽样平均误差为 1.20 cm。样本量扩大4倍，抽样平均误差才缩小一半。

课堂提问：我们已经知道怎样根据样本量计算区间宽度；如果先规定区间宽度，又该怎样求样本量？

从总体均值的区间估计公式，一步步推导样本量

这里的“倒过来”，就是把原来已知 n 求误差，改为已知允许误差 Δ 求 n。请先回忆上节课的公式。

点击按钮逐步展示推导；这一页只讲公式来源，下一页再做计算题。

上面推导的是基础样本量 n₀。当总体容量 N 有限、抽样比例不可忽略时，应考虑有限总体修正。

n_{0}=\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}}{\Delta^{2}},\qquad n\ge\frac{N\,n_{0}}{N-1+n_{0}}

再展开一步：将 n₀ 代入有限总体公式。

n\ge\frac{N\,z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}}{(N-1)\,\Delta^{2}+z_{\alpha/2}^{2}\,\sigma^{2}}

这样可以直接与基础公式 $n_{0}=z^{2}\sigma^{2}/\Delta^{2}$ 对照：仅增加总体容量 $N$ 及有限总体修正项 $N-1$ ；置信水平、总体标准差和允许误差的符号含义不变。

符号说明

推导依据： $\Delta\ge z\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\times\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ ；移项并整理即可得到上式。两种公式均须将计算结果向上取整。这里统一采用以 N 为分母定义的总体方差 σ²，确保有限总体修正与基础公式的符号一致。

先独立计算，再逐步揭示。关键是根据精度要求反推样本量，并向上取整。

课堂计算题｜确定调查样本量

某校计划调查男生的平均身高。根据以往资料，身高总体标准差约为 6 cm。如果要求在 95%置信水平下，抽样极限误差不超过 ±2 cm，至少需要抽取多少人？

先让学生独立计算，再逐步揭示解题过程。本题采用独立随机抽样、总体标准差已知的规划模型。

沿用上题条件：95%置信水平，σ≈6 cm，Δ=2 cm。如果全校共有 N=100名男生，采用简单随机不重复抽样，所需样本量是多少？

向上取整：至少抽取26人

同样的置信水平和精度要求下，有限总体修正使所需样本量从35人减少至26人。第四幕可以切换抽样设计并改变总体容量，观察这一差别。

动手试一试

置信水平

总体标准差 σ（cm）

允许的抽样极限误差 Δ（±cm）

抽样设计

保持其他条件不变，分别改变置信水平、总体差异，再观察总体规模有限时的修正。

当前条件下的最低样本量35 人

不同置信水平所需样本量对比（其他条件不变）

n\ge\frac{z^{2}\sigma^{2}}{\Delta^{2}}

其他条件不变：置信水平越高、总体差异越大、允许误差越小，所需样本量越大。