第 8 讲

总体方差的区间估计

如何估计某高校大学生每月生活费的离散程度？

何晓琦《统计学》系列

估计条件

动手试一试

样本量 n

样本标准差 s（元）

置信水平

教学假设：独立随机样本来自正态总体（经典 χ² 方差区间）。虚拟总体设定为月生活费均值 2200 元、标准差 360 元；初始数据仅用于教学。

总体方差 σ² 的 95% 置信区间[56,654.80，536,846.29] 元²

总体方差 σ² 的置信区间与样本方差 s²（单位：元²）

换算为总体标准差 σ 的置信区间：[238.02，732.70] 元

自由度为 7 的 χ² 分布：中央面积 95%，两侧尾部各 2.5%

χ² 分布的自由度为 7，理论偏度为 1.07（自由度越小，右偏越明显）；左临界值 1.6899（左侧面积 2.5%），右临界值 16.0128（右侧面积 2.5%）。注意：计算方差区间下限时除以较大的右临界值，上限时除以较小的左临界值。

\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}}\;\le\;\sigma^{2}\;\le\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}

计算样本方差
$s^{2}=360.00^{2}=129{,}600.00$
确定自由度与置信水平
$n-1=7,\qquad \alpha=1-0.95=0.05$
两侧尾部各 2.5%。
查 χ² 分布的两个临界值（下侧累积概率分别为 α/2 和 1 − α/2）
$\chi^{2}_{0.025,\,7}=1.6899,\qquad \chi^{2}_{0.975,\,7}=16.0128$
计算总体方差置信区间下限
$\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0.975,\,7}}=\frac{7\times 129{,}600.00}{16.0128}\approx 56{,}654.80$
计算总体方差置信区间上限
$\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0.025,\,7}}=\frac{7\times 129{,}600.00}{1.6899}\approx 536{,}846.29$
因此，总体方差的 95% 置信区间为 [56,654.80，536,846.29] 元²。
（扩展）对两个端点分别开平方，得到总体标准差的置信区间（元）
$\left[\sqrt{56{,}654.80},\ \sqrt{536{,}846.29}\right]=\left[238.02,\ 732.70\right]$

本讲讲解独立正态样本的经典 χ² 方差区间。不重复抽样下总体方差仍然可以估计，但有限总体无放回抽样一般不能直接使用这一精确 χ² 公式。

适用条件：独立随机样本来自正态总体。χ² 方差区间对非正态性较敏感；区间不对称，不能简单套用“样本方差 ± 抽样极限误差”。