第 4 讲

抽样误差、抽样平均误差与抽样极限误差

一所高校的男生身高调查 · 一个案例，三个概念，逐步讲清

何晓琦《统计学》系列

① 抽样误差 ② 抽样平均误差 ③ 抽样极限误差

样本均值为什么不一定等于总体均值？

第一部分 · 一次抽样

全校有 20,000 名学生。我们要估计的是全校男生的平均身高。假设模拟总体的真实均值为 μ = 172 cm，总体标准差 σ = 6 cm。

课堂提问：随机抽取100名男生，他们的平均身高一定恰好是172 cm吗？

总体均值 μ
本次样本均值 x̄
抽样误差 e

横轴为平均身高；虚线代表固定的总体均值，蓝色圆点代表本次样本均值，两者之间的标注为本次抽样误差 e。

本次样本均值尚未抽样

抽样后显示实际偏差。

抽样误差的表示

e=\bar{x}-\mu

本节用带符号的差值表示一次抽样的抽样误差；其绝对值表示偏离大小。

重复抽样

动手试一试

每次抽样人数 n

抽样误差会怎样波动？

第二部分 · 重复抽样

如果不断从同一个总体中独立随机抽样，每次的样本均值都可能不同。抽样平均误差用于衡量样本均值在重复抽样中的典型波动程度，它就是样本均值抽样分布的标准差（标准误）。

理论抽样平均误差（标准误）: 0.600 cm
已模拟: 0 次
样本均值的经验标准差: —

各次样本均值
μ ± σ/√n
理论抽样分布 N(μ, σ²/n)
总体均值 μ

蓝色圆点是各次样本均值；抽样次数增加后，更容易看出它们围绕总体均值波动。阴影带为 μ ± σ/√n，底部曲线为理论抽样分布 N(μ, σ²/n)。

落在 μ ± σ/√n 内的比例：—

抽样平均误差的计算

\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

独立同分布抽样模型下；σ = 6 cm

代入计算：6 ÷ √100 = 0.600 cm

将样本量从25改成400，抽样平均误差如何变化？

注意：抽样平均误差不是每次抽样的实际误差，也不是误差的简单算术平均数。

构造区间

动手试一试

置信水平

样本量 n

为了给出一个估计区间，允许偏离多大？

第三部分 · 构造区间

先由研究者选择希望达到的置信水平（例如90%、95%、99%），再根据这个要求确定区间向两侧延伸的幅度，即抽样极限误差 Δ。置信水平越高，通常需要把区间放得越宽。

样本均值: 172.63 cm
抽样平均误差: 0.600 cm
对应系数 k（由置信水平确定）: 1.9600
抽样极限误差: Δ = 1.176 cm

95%置信区间[171.45, 173.81] cm

x̄ ± Δ
样本均值
总体均值 μ

改变置信水平时，保持同一个样本均值不变，只改变区间宽度，便于观察置信水平的作用。

本次区间覆盖了总体均值 μ = 172 cm。

抽样极限误差与区间

\Delta=k\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

k 是由所选置信水平决定的系数；z 值的来源和计算留到后面几讲详细解释

代入计算：1.9600 × 6 ÷ √100 = 1.176 cm

\bar{x}\pm\Delta

区间估计 = 点估计 ± 抽样极限误差

课堂提问：我们把置信水平从90%提高到99%，想要更高的覆盖把握，区间应该变宽还是变窄？

结论：其他条件不变，置信水平越高，抽样极限误差越大，区间越宽。

三个概念，一句话区分

抽样误差是某次样本估计与真值的差；抽样平均误差衡量重复抽样的典型波动；抽样极限误差是给定置信水平下构造区间所用的半宽度。

注意：置信水平由我们事先选择，但 Δ 不是随意指定的，它还取决于样本量和抽样平均误差。“极限”不保证每次实际抽样误差都不超过 Δ；95%置信水平下，长期约有5%的区间不覆盖真值。